二次函数与反比例函数测试题精选，练习全覆盖
本试题库围绕初中数学中二次函数与反比例函数的核心知识点进行编排，包含选择题、填空题、判断题、简答题及综合应用题等多种题型，并按照基础、中等和挑战三个难度层次分类，帮助学生系统掌握相关知识。
一、选择题（共20题）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. y = x + 3
B. y = 3x² + 2x - 5
C. y = 1/x
D. y = 4x
正确答案：B
解析：二次函数的一般形式为 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)，选项 B 符合这一标准。
2. 函数 y = 2x² 的图像是（ ）
A. 开口向下的抛物线
B. 开口向上的直线
C. 开口向上的抛物线
D. 开口向下的直线
正确答案：C
解析：y = 2x² 是一个系数 a > 0 的二次函数，因此图像开口向上。
3. 反比例函数的表达式一般形式为（ ）
A. y = kx + b
B. y = k/x
C. y = ax² + bx + c
D. y = mx
正确答案：B
解析：反比例函数的标准形式是 y = k/x，其中 k ≠ 0。
4. 当 x = 2 时，y = x² + 3x - 1 的值是（ ）
A. 9
B. 7
C. 5
D. 11
正确答案：A
解析：将 x = 2 代入得 y = 4 + 6 - 1 = 9。
5. 函数 y = -x² + 4x - 3 的顶点坐标是（ ）
A. (2, 1)
B. (2, -1)
C. (-2, 1)
D. (-2, -1)
正确答案：A
解析：使用顶点公式 x = -b/(2a) 得 x = 2，代入原式求得 y = 1，顶点为 (2, 1)。
6. 若反比例函数 y = k/x 的图像经过点 (3, 2)，则 k 的值为（ ）
A. 6
B. 3
C. 2
D. 1/6
正确答案：A
解析：将点代入 y = k/x 得 2 = k/3，解得 k = 6。
7. 下列函数中，随着 x 增大而 y 减小的是（ ）
A. y = x²
B. y = -x²
C. y = 1/x
D. y = -1/x
正确答案：C
解析：在第一象限内，y = 1/x 随着 x 增大而 y 减小。
8. 抛物线 y = x² + 2x - 3 与 x 轴的交点个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
正确答案：C
解析：令 y = 0 解方程 x² + 2x - 3 = 0，有两个实数解，故有两个交点。
9. 若函数 y = ax² + bx + c 的图像与 x 轴没有交点，则判别式 D 满足（ ）
A. D > 0
B. D = 0
C. D < 0
D. D ≥ 0
正确答案：C
解析：若无交点，则方程无实根，即判别式小于零。
10. 函数 y = 2/x 在 x > 0 时的取值范围是（ ）
A. y > 0
B. y < 0
C. y = 0
D. y = ±∞
正确答案：A
解析：当 x > 0 时，2/x > 0，因此函数值始终大于零。
11. 二次函数 y = -x² + 4x - 5 的最大值是（ ）
A. 1
B. -1
C. 0
D. 5
正确答案：B
解析：因 a < 0，该函数有最大值。顶点处 y = -1。
12. 函数 y = 3x² - 6x + 2 的对称轴是（ ）
A. x = 1
B. x = -1
C. x = 2
D. x = -2
正确答案：A
解析：对称轴公式为 x = -b/(2a) = 1。
13. 若反比例函数 y = k/x 的图像在第二象限，则 k 的符号是（ ）
A. 正数
B. 负数
C. 零
D. 无法确定
正确答案：B
解析：第二象限 x < 0，y > 0，所以 k = xy < 0。
14. 二次函数 y = x² - 2x + 3 的最小值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
正确答案：B
解析：顶点处 y = 2，是最小值。
15. 若函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向下，则 a 的符号是（ ）
A. 正数
B. 负数
C. 零
D. 无法确定
正确答案：B
解析：开口向下表示 a < 0。
16. 函数 y = 1/(x - 2) 的定义域是（ ）
A. x ≠ 2
B. x = 2
C. x > 2
D. x < 2
正确答案：A
解析：分母不能为零，因此 x ≠ 2。
17. 抛物线 y = x² - 4x + 4 与 x 轴的交点个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
正确答案：B
解析：方程 x² - 4x + 4 = 0 有唯一实数解 x = 2，因此只有一个交点。
18. 反比例函数 y = k/x 的图像关于哪个点中心对称？（ ）
A. (0, 0)
B. (1, 1)
C. (k, 0)
D. (0, k)
正确答案：A
解析：反比例函数图像关于原点对称。
19. 若函数 y = -2x² + 4x + 3 的图像最高点纵坐标为 m，则 m 的值是（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
正确答案：A
解析：顶点 y 值为 m = -D/(4a) = 5。
20. 若函数 y = 2x² + bx + 3 与 x 轴只有一个交点，则 b 的值是（ ）
A. 0
B. 2√6
C. -2√6
D. ±2√6
正确答案：D
解析：只有一个交点说明判别式为 0，解得 b = ±2√6。
二、填空题（共10题）
21. 函数 y = x² - 6x + 8 的顶点坐标是 ________。
答案：(3, -1)
解析：利用顶点公式 x = -b/(2a) = 3，代入求得 y = -1。
22. 反比例函数 y = k/x 经过点 (2, 3)，则 k = ________。
答案：6
解析：将点代入函数式得 k = 6。
23. 函数 y = -x² + 4x - 3 的最大值是 ________。
答案：1
解析：顶点处 y = 1，为最大值。
24. 函数 y = 3x² - 6x + 2 的对称轴是 ________。
答案：x = 1
解析：对称轴公式为 x = -b/(2a) = 1。
25. 函数 y = x² - 2x + 1 的图像与 x 轴的交点个数是 ________。
答案：1
解析：判别式为 0，说明有一个交点。
26. 函数 y = 1/x 的图像在第 ________ 象限。
答案：一、三
解析：当 x > 0 时，y > 0；当 x < 0 时，y < 0。
27. 若函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向下，则 a 的符号是 ________。
答案：负数
解析：开口向下意味着 a < 0。
28. 函数 y = 2x² - 4x + 1 的最小值是 ________。
答案：-1
解析：顶点处 y = -1。
29. 函数 y = -1/x 的图像在第 ________ 象限。
答案：二、四
解析：当 x > 0 时，y < 0；当 x < 0 时，y > 0。
30. 函数 y = x² + 4x + 4 的最小值是 ________。
答案：0
解析：顶点处 y = 0。
三、判断题（共10题）
31. 二次函数的图像一定是抛物线。（√/×）
答案：√
解析：二次函数的一般形式为 y = ax² + bx + c，其图像总是抛物线。
32. 函数 y = 2/x 是一次函数。（√/×）
答案：×
解析：该函数是反比例函数，不是一次函数。
33. 当 a > 0 时，函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向上。（√/×）
答案：√
解析：系数 a 决定抛物线的开口方向。
34. 函数 y = 1/x 的图像关于 y 轴对称。（√/×）
答案：×
解析：该函数图像关于原点对称，而不是 y 轴。
35. 函数 y = -x² + 2x - 1 的最大值是 0。（√/×）
答案：√
解析：顶点处 y = 0，且 a < 0，所以是最大值。
36. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像一定与 x 轴有两个交点。（√/×）
答案：×
解析：这取决于判别式的值，可能无交点或一个交点。
37. 函数 y = 2x² + 3x + 1 的图像与 x 轴没有交点。（√/×）
答案：×
解析：该函数判别式大于 0，有两个实数解。
38. 函数 y = -1/x 的图像在第一象限。（√/×）
答案：×
解析：该函数在第一象限 y < 0，不在该象限。
39. 二次函数的对称轴垂直于 y 轴。（√/×）
答案：√
解析：对称轴是一条垂直于 y 轴的直线。
40. 函数 y = 1/x 的图像上任意两点连线斜率相同。（√/×）
答案：×
解析：不同点连线的斜率不同。
四、简答题（共5题）
41. 简述二次函数 y = ax² + bx + c 的图像形状及其主要特征。
答案：
1. 图像为抛物线。
2. 当 a > 0 时，开口向上；当 a < 0 时，开口向下。
3. 顶点为图像的最高点或最低点。
4. 对称轴为 x = -b/(2a)。
5. 判别式决定图像与 x 轴的交点个数。
解析：这是二次函数的基本性质，有助于理解其图像变化。
42. 请写出反比例函数的一般形式，并简述其图像特点。
答案：
1. 一般形式为 y = k/x，其中 k ≠ 0。
2. 图像由两支双曲线组成。
3. 当 k > 0 时，图像位于第一、第三象限；当 k < 0 时，图像位于第二、第四象限。
4. 图像关于原点对称。
解析：了解这些特点有助于绘制和分析反比例函数图像。
43. 如何判断一个二次函数图像与 x 轴的交点个数？
答案：
1. 利用判别式 Δ = b² - 4ac。
2. 若 Δ > 0，有两个不同的交点；Δ = 0，有一个交点；Δ < 0，无交点。
解析：这是判断二次函数与 x 轴交点个数的关键方法。
44. 反比例函数 y = k/x 的图像有哪些对称性？
答案：
1. 关于原点对称。
2. 不关于 x 轴或 y 轴对称。
解析：图像的对称性可以帮助快速识别和画出图像。
45. 简述如何求二次函数 y = ax² + bx + c 的最大值或最小值。
答案：
1. 使用顶点公式 x = -b/(2a) 求出顶点横坐标。
2. 将 x 代入原式求出对应的 y 值。
3. 若 a > 0，y 为最小值；若 a < 0，y 为最大值。
解析：此方法适用于所有二次函数。
五、综合应用题（共5题）
46. 已知二次函数 y = x² - 4x + 3，求：
(1) 顶点坐标；
(2) 与 x 轴的交点；
(3) 函数的最大值或最小值。
答案：
(1) 顶点坐标为 (2, -1)。
(2) 与 x 轴交点为 x = 1 和 x = 3。
(3) 因 a > 0，该函数有最小值 -1。
解析：通过顶点公式和判别式计算即可得出结果。
47. 已知反比例函数 y = k/x 的图像经过点 (2, 4)，求：
(1) k 的值；
(2) 函数图像所在的象限；
(3) 当 x = -1 时，y 的值。
答案：
(1) k = 8。
(2) 图像在第一、第三象限。
(3) y = -8。
解析：将点代入可求得 k，再根据 k 的正负判断象限，最后代入 x = -1 求 y。
48. 已知二次函数 y = -2x² + 4x + 6，求：
(1) 顶点坐标；
(2) 最大值或最小值；
(3) 与 x 轴的交点个数。
答案：
(1) 顶点坐标为 (1, 8)。
(2) 因 a < 0，该函数有最大值 8。
(3) 与 x 轴有两个交点。
解析：利用顶点公式和判别式计算。
49. 已知反比例函数 y = k/x 的图像与 x 轴无交点，求 k 的取值范围。
答案：
k ≠ 0。
解析：因为反比例函数图像不会与 x 轴相交，无论 k 取何非零值。
50. 已知函数 y = ax² + bx + c 的图像开口向上，且顶点在原点，写出该函数的表达式。
答案：
y = ax²。
解析：由于顶点在原点，b = 0，c = 0，因此函数为 y = ax²。
六、附加题（共2题）
51. 若函数 y = ax² + bx + c 的图像经过点 A(-1, 2) 和 B(2, 5)，并且顶点在原点，求 a、b、c 的值。
答案：
a = 1，b = 0，c = 1。
解析：顶点在原点说明 b = 0，c = 1。代入点 A 和 B 可解得 a = 1。
52. 已知函数 y = k/x 的图像与直线 y = 2x 相交于点 (1, 2)，求 k 的值并判断交点个数。
答案：
k = 2，交点个数为 1。
解析：将点代入反比例函数得 k = 2，两个函数只有一个交点。