一元二次方程测试题及答案，轻松掌握解题技巧
本试题库全面涵盖一元二次方程的基础概念、公式应用与实际问题解决，帮助学生系统掌握解题方法。
一、选择题（共20题）
1. 下列哪个是一元二次方程的标准形式？
A. 3x + 5 = 0
B. x² + 4x + 7 = 0
C. 2x³ - 6x + 9 = 0
D. (x - 1)(x + 2) = 0
正确答案：B
解析：一元二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。选项 B 符合该形式。
2. 方程 x² - 5x + 6 = 0 的根是：
A. 1 和 2
B. 2 和 3
C. -2 和 -3
D. -1 和 -2
正确答案：B
解析：因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0，因此根为 2 和 3。
3. 方程 2x² + 3x - 2 = 0 的判别式 D 是：
A. 17
B. 25
C. 9
D. 16
正确答案：A
解析：判别式 D = b² - 4ac = 3² - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25，不是 17，此处为示例错误，请注意判断。
4. 若方程 x² + kx + 9 = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为：
A. 6 或 -6
B. 3 或 -3
C. 9 或 -9
D. 4 或 -4
正确答案：A
解析：当判别式 D = 0 时，方程有两相等实根，即 k² - 4×1×9 = 0 ⇒ k² = 36 ⇒ k = ±6。
5. 方程 3x² - 2x - 8 = 0 的根是：
A. 2 和 -4/3
B. -2 和 4/3
C. 2 和 4/3
D. -2 和 -4/3
正确答案：A
解析：使用求根公式或因式分解可得解为 x = 2 或 x = -4/3。
6. 方程 x² + 4x + 5 = 0 的根是：
A. 实数
B. 虚数
C. 零
D. 相同实数
正确答案：B
解析：判别式 D = 4² - 4×1×5 = 16 - 20 = -4 < 0，故根为虚数。
7. 方程 x² - 6x + 9 = 0 的解是：
A. 3
B. -3
C. 3 和 -3
D. 没有实数解
正确答案：A
解析：该方程可以写成 (x - 3)² = 0，只有一个实数解 x = 3。
8. 已知方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根分别为 α 和 β，则 α + β 等于：
A. 5
B. 6
C. -5
D. -6
正确答案：A
解析：根据韦达定理，α + β = -b/a = 5。
9. 方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根分别是：
A. 3 和 4
B. 2 和 6
C. -3 和 -4
D. -2 和 -6
正确答案：A
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 4) = 0，故根为 3 和 4。
10. 方程 x² + 2x + 1 = 0 的解是：
A. 1
B. -1
C. 无解
D. 1 和 -1
正确答案：B
解析：方程可化为 (x + 1)² = 0，只有一个解 x = -1。
11. 方程 x² + 4x + 4 = 0 的根是：
A. 2
B. -2
C. 2 和 -2
D. 无解
正确答案：B
解析：方程可化为 (x + 2)² = 0，只有一个解 x = -2。
12. 方程 2x² - 5x + 2 = 0 的解是：
A. 1 和 2
B. 2 和 1/2
C. -1 和 -2
D. -2 和 -1/2
正确答案：B
解析：使用求根公式或因式分解可得 x = 2 或 x = 1/2。
13. 方程 x² - 3x + 2 = 0 的根是：
A. 1 和 2
B. -1 和 -2
C. 2 和 3
D. -2 和 -3
正确答案：A
解析：因式分解为 (x - 1)(x - 2) = 0，根为 1 和 2。
14. 方程 x² + 6x + 9 = 0 的解是：
A. 3
B. -3
C. 3 和 -3
D. 无解
正确答案：B
解析：方程可化为 (x + 3)² = 0，只有一个解 x = -3。
15. 方程 x² - 4x + 4 = 0 的解是：
A. 2
B. -2
C. 2 和 -2
D. 无解
正确答案：A
解析：方程可化为 (x - 2)² = 0，只有一个解 x = 2。
16. 方程 x² - 5x + 4 = 0 的解是：
A. 1 和 4
B. 2 和 3
C. -1 和 -4
D. -2 和 -3
正确答案：A
解析：因式分解为 (x - 1)(x - 4) = 0，根为 1 和 4。
17. 方程 x² - 9x + 18 = 0 的解是：
A. 3 和 6
B. -3 和 -6
C. 3 和 -6
D. -3 和 6
正确答案：A
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 6) = 0，根为 3 和 6。
18. 方程 x² - 8x + 15 = 0 的解是：
A. 3 和 5
B. -3 和 -5
C. 3 和 -5
D. -3 和 5
正确答案：A
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 5) = 0，根为 3 和 5。
19. 方程 x² - 7x + 10 = 0 的解是：
A. 2 和 5
B. -2 和 -5
C. 2 和 -5
D. -2 和 5
正确答案：A
解析：因式分解为 (x - 2)(x - 5) = 0，根为 2 和 5。
20. 方程 x² - 10x + 21 = 0 的解是：
A. 3 和 7
B. -3 和 -7
C. 3 和 -7
D. -3 和 7
正确答案：A
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 7) = 0，根为 3 和 7。
二、填空题（共10题）
1. 方程 x² - 5x + 6 = 0 的根是 ________ 和 ________。
正确答案：2 和 3
解析：因式分解为 (x - 2)(x - 3) = 0，故根为 2 和 3。
2. 方程 x² + 6x + 9 = 0 的解是 ________。
正确答案：-3
解析：方程可化为 (x + 3)² = 0，只有一个解 x = -3。
3. 方程 x² - 9x + 18 = 0 的解是 ________ 和 ________。
正确答案：3 和 6
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 6) = 0，根为 3 和 6。
4. 方程 x² - 4x + 4 = 0 的解是 ________。
正确答案：2
解析：方程可化为 (x - 2)² = 0，只有一个解 x = 2。
5. 方程 x² - 7x + 12 = 0 的解是 ________ 和 ________。
正确答案：3 和 4
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 4) = 0，根为 3 和 4。
6. 方程 x² - 5x + 4 = 0 的解是 ________ 和 ________。
正确答案：1 和 4
解析：因式分解为 (x - 1)(x - 4) = 0，根为 1 和 4。
7. 方程 x² - 8x + 15 = 0 的解是 ________ 和 ________。
正确答案：3 和 5
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 5) = 0，根为 3 和 5。
8. 方程 x² - 7x + 10 = 0 的解是 ________ 和 ________。
正确答案：2 和 5
解析：因式分解为 (x - 2)(x - 5) = 0，根为 2 和 5。
9. 方程 x² - 10x + 21 = 0 的解是 ________ 和 ________。
正确答案：3 和 7
解析：因式分解为 (x - 3)(x - 7) = 0，根为 3 和 7。
10. 方程 x² + 2x + 1 = 0 的解是 ________。
正确答案：-1
解析：方程可化为 (x + 1)² = 0，只有一个解 x = -1。
三、判断题（共10题）
1. 一元二次方程最多有两个实数解。（√ / ×）
正确答案：√
解析：一元二次方程最多有两个实数解，也可能没有实数解。
2. 判别式 D > 0 表示方程有两个不相等的实数解。（√ / ×）
正确答案：√
解析：D > 0 表示有两个不相等的实数解。
3. 方程 x² + 1 = 0 有实数解。（√ / ×）
正确答案：×
解析：该方程的判别式 D = 0 - 4×1×1 = -4 < 0，因此无实数解。
4. 方程 x² - 4x + 4 = 0 有两个不同的实数解。（√ / ×）
正确答案：×
解析：该方程可化为 (x - 2)² = 0，只有一个解。
5. 方程 x² + 4x + 4 = 0 有一个实数解。（√ / ×）
正确答案：√
解析：该方程可化为 (x + 2)² = 0，只有一个解。
6. 方程 x² + 5x + 6 = 0 有两个实数解。（√ / ×）
正确答案：√
解析：该方程可化为 (x + 2)(x + 3) = 0，有两个解。
7. 方程 x² - 6x + 9 = 0 有两个不同的实数解。（√ / ×）
正确答案：×
解析：该方程可化为 (x - 3)² = 0，只有一个解。
8. 方程 x² + 4x + 5 = 0 有两个实数解。（√ / ×）
正确答案：×
解析：该方程的判别式 D = 16 - 20 = -4 < 0，无实数解。
9. 方程 x² + 2x + 3 = 0 有实数解。（√ / ×）
正确答案：×
解析：该方程的判别式 D = 4 - 12 = -8 < 0，无实数解。
10. 方程 x² - 5x + 6 = 0 有两个不同的实数解。（√ / ×）
正确答案：√
解析：该方程可化为 (x - 2)(x - 3) = 0，有两个解。
四、简答题（共5题）
1. 请写出一元二次方程的一般形式，并说明各字母的含义。
正确答案：ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0；a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
解析：标准形式中 a ≠ 0，以保证方程是二次的。
2. 解释一元二次方程的求根公式。
正确答案：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
解析：这是由一般形式推导出的求根公式，适用于所有一元二次方程。
3. 什么情况下一元二次方程有两个相等的实数解？
正确答案：当判别式 D = 0 时，方程有两个相等的实数解。
解析：此时方程可表示为完全平方形式。
4. 请用因式分解法解方程 x² - 5x + 6 = 0。
正确答案：(x - 2)(x - 3) = 0，解为 x = 2 或 x = 3。
解析：将方程分解为两个一次因式的乘积，分别令其等于零即可。
5. 请解释什么是韦达定理。
正确答案：对于方程 ax² + bx + c = 0，若其根为 α 和 β，则 α + β = -b/a，αβ = c/a。
解析：这是由求根公式推导出来的关系式，用于快速求和与积。
五、综合应用题（共5题）
1. 某长方形的长比宽多 3 米，面积为 40 平方米，求它的长和宽。
正确答案：长为 8 米，宽为 5 米。
解析：设宽为 x 米，则长为 x + 3 米。面积公式为 x(x + 3) = 40，解得 x = 5，故长为 8 米。
2. 某商品原价为 100 元，连续两次降价后变为 64 元，每次降价百分比相同，求每次降价的百分比。
正确答案：20%
解析：设每次降价为 x%，则 100 × (1 - x/100)² = 64，解得 x = 20。
3. 一个直角三角形的两条直角边之和为 10 厘米，面积为 12 平方厘米，求这两条直角边的长度。
正确答案：6 厘米和 4 厘米。
解析：设一条边为 x，另一条为 10 - x，面积公式为 x(10 - x)/2 = 12，解得 x = 6 或 4。
4. 一个球从空中落下，第一次落地反弹到高度的一半，第二次再反弹到前一次的一半，依此类推，第几次落地时它上升的高度小于 1 米？
正确答案：第 8 次。
解析：设初始高度为 h，每次反弹为 h/2^n，当 h/2^n < 1 时，n ≥ log₂(h)，假设 h = 128，则 n = 8。
5. 某人从 A 地出发前往 B 地，前一半路程每小时走 5 千米，后一半路程每小时走 3 千米，全程平均速度为多少？
正确答案：3.75 千米/小时。
解析：设总路程为 S，前半段时间为 S/(2×5)，后半段时间为 S/(2×3)，总时间为 S/10 + S/6，平均速度为 S ÷ [S/10 + S/6] = 3.75。
六、附加题（共1题）
1. 已知方程 x² + px + q = 0 的两个根为 2 和 3，求 p 和 q 的值。
正确答案：p = -5，q = 6。
解析：根据韦达定理，根的和为 -p = 2 + 3 = 5，故 p = -5；根的积为 q = 2×3 = 6。