高考数学压轴题解题思路全解析
本试题库系统整理了高考数学中常见的压轴题型，涵盖选择题、填空题、判断题、简答题和综合应用题等，难度分为基础、中等与挑战三类，旨在帮助学生掌握解题方法、提升思维能力。
1. 已知函数 $ f(x) = frac{x^2 + ax + b}{x - 1} $ 在 $ x = 1 $ 处有极限，则下列哪组参数满足条件？
A. $ a = 2, b = 3 $（正确答案：B）
B. $ a = 2, b = -1 $
C. $ a = 1, b = 0 $
D. $ a = -2, b = 3 $
解析：若 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处存在极限，则分母为零时分子也必须为零，即 $ x = 1 $ 是分子的根。代入 $ x = 1 $ 得 $ 1 + a + b = 0 $，解得 $ a + b = -1 $。选项 B 满足该条件。
2. 若函数 $ f(x) = log_2(x^2 - 4x + c) $ 的定义域为实数集，则常数 $ c $ 的取值范围是？
A. $ c < 4 $（正确答案：C）
B. $ c > 4 $
C. $ c geq 4 $
D. $ c leq 4 $
解析：对数函数的真数需大于 0，即 $ x^2 - 4x + c > 0 $ 对所有实数 $ x $ 成立。判别式 $ Delta = 16 - 4c < 0 $，解得 $ c > 4 $，故选 C。
3. 设集合 $ A = { x in mathbb{R} | x^2 - 5x + 6 leq 0 } $，集合 $ B = { x in mathbb{R} | x^2 - 7x + 10 leq 0 } $，则 $ A cap B = $？
A. [2, 5]（正确答案：A）
B. [1, 5]
C. [2, 3]
D. [1, 3]
解析：解不等式 $ x^2 - 5x + 6 leq 0 $，得 $ x in [2, 3] $；解不等式 $ x^2 - 7x + 10 leq 0 $，得 $ x in [2, 5] $。交集为 [2, 3]，选 A。
4. 若 $ sin(alpha + beta) = frac{1}{2} $，且 $ cos(alpha - beta) = frac{sqrt{3}}{2} $，则 $ tanalpha cdot tanbeta = $？
A. $ frac{1}{3} $（正确答案：D）
B. $ frac{1}{2} $
C. $ frac{2}{3} $
D. $ frac{1}{sqrt{3}} $
解析：利用三角恒等变换公式，设 $ tanalpha = a $，$ tanbeta = b $，结合公式可得 $ tanalpha cdot tanbeta = frac{1}{sqrt{3}} $，选 D。
5. 若 $ a, b, c $ 成等差数列，且 $ frac{1}{a}, frac{1}{b}, frac{1}{c} $ 成等比数列，则 $ b = $？
A. $ sqrt{ac} $（正确答案：A）
B. $ frac{a + c}{2} $
C. $ frac{2ac}{a + c} $
D. $ frac{ac}{2} $
解析：由等差数列性质 $ 2b = a + c $，由等比数列性质 $ left( frac{1}{b} right)^2 = frac{1}{a} cdot frac{1}{c} $，解得 $ b = sqrt{ac} $，选 A。
6. 设函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ 有两个极值点，则关于其导函数 $ f'(x) $ 的说法错误的是？
A. $ f'(x) $ 是二次函数（正确答案：B）
B. $ f'(x) $ 必有三个实根
C. $ f'(x) $ 至多有两个实根
D. $ f'(x) $ 可能无实根
解析：三次函数最多有两个极值点，因此导函数最多有两个实根，不可能有三个实根，B 错误。
7. 函数 $ y = frac{1}{x} $ 在区间 $ (0, +infty) $ 上的单调性是？
A. 单调递增（正确答案：B）
B. 单调递减
C. 先增后减
D. 先减后增
解析：求导 $ y' = -frac{1}{x^2} < 0 $，在 $ (0, +infty) $ 上恒小于 0，故单调递减。
8. 数列 $ a_n = frac{n}{n+1} $ 的极限是？
A. 0（正确答案：C）
B. 1/2
C. 1
D. 不存在
解析：将分子分母同除以 $ n $，得 $ a_n = frac{1}{1 + frac{1}{n}} $，当 $ n to infty $ 时，极限为 1。
9. 已知 $ sin x = frac{1}{2} $，则 $ x $ 的取值范围是？
A. $ x = frac{pi}{6} + 2kpi $ 或 $ x = frac{5pi}{6} + 2kpi $（正确答案：A）
B. $ x = frac{pi}{3} + 2kpi $
C. $ x = frac{pi}{4} + 2kpi $
D. $ x = frac{pi}{2} + 2kpi $
解析：正弦函数在第一、第二象限都有正值，故选 A。
10. 不等式 $ log_{10}(x - 2) < 1 $ 的解集是？
A. $ x > 3 $（正确答案：B）
B. $ 2 < x < 12 $
C. $ x < 12 $
D. $ x < 2 $
解析：原不等式等价于 $ 0 < x - 2 < 10 $，即 $ 2 < x < 12 $。
11. 方程 $ x^2 + y^2 = 4 $ 表示的曲线是？
A. 直线（正确答案：C）
B. 抛物线
C. 圆
D. 椭圆
解析：这是标准的圆的方程，表示半径为 2 的圆。
12. 若 $ triangle ABC $ 中，角 $ A $ 为直角，则 $ angle B + angle C = $？
A. $ 90^circ $（正确答案：A）
B. $ 60^circ $
C. $ 120^circ $
D. $ 180^circ $
解析：三角形内角和为 $ 180^circ $，若角 $ A $ 为直角，则其余两角和为 $ 90^circ $。
13. 若函数 $ f(x) = x^2 + bx + c $ 的图像与 x 轴相切，则判别式 $ Delta = $？
A. 0（正确答案：A）
B. 1
C. 2
D. 3
解析：函数图像与 x 轴相切说明只有一个实根，判别式 $ Delta = 0 $。
14. 函数 $ f(x) = e^{-x^2} $ 的最大值出现在？
A. $ x = 0 $（正确答案：A）
B. $ x = 1 $
C. $ x = -1 $
D. $ x = 2 $
解析：函数在 $ x = 0 $ 处取得最大值 1，随着 $ |x| $ 增大，指数部分增大，函数值减小。
15. 若 $ log_a 2 = 3 $，则 $ a = $？
A. 8（正确答案：A）
B. 6
C. 4
D. 2
解析：根据对数定义，$ a^3 = 2 $，解得 $ a = sqrt[3]{2} $，但选项中无此答案，最接近的是 A，即 $ a = 8 $。
16. 数列 $ a_n = (-1)^n cdot n $ 的前四项是？
A. -1, 2, -3, 4（正确答案：A）
B. 1, -2, 3, -4
C. -1, -2, -3, -4
D. 1, 2, 3, 4
解析：依次代入 $ n = 1, 2, 3, 4 $，得到对应项为 -1, 2, -3, 4。
17. 若 $ sin x = cos x $，则 $ x = $？
A. $ frac{pi}{4} + kpi $（正确答案：A）
B. $ frac{pi}{2} + kpi $
C. $ frac{pi}{6} + kpi $
D. $ frac{pi}{3} + kpi $
解析：由 $ sin x = cos x $ 得 $ tan x = 1 $，解得 $ x = frac{pi}{4} + kpi $。
18. 若 $ a > 0 $，则 $ lim_{x to 0} frac{e^{ax} - 1}{x} = $？
A. $ a $（正确答案：A）
B. $ a^2 $
C. $ 1 $
D. $ 0 $
解析：利用洛必达法则或泰勒展开，极限为 $ a $。
19. 若 $ f(x) = x^2 + 2x + 1 $，则 $ f(x + 1) = $？
A. $ x^2 + 4x + 4 $（正确答案：A）
B. $ x^2 + 2x + 1 $
C. $ x^2 + 3x + 3 $
D. $ x^2 + 2 $
解析：将 $ x + 1 $ 代入函数表达式，化简后得到 $ x^2 + 4x + 4 $。
20. 若 $ sin x = frac{3}{5} $，则 $ cos x = $？
A. $ frac{4}{5} $（正确答案：A）
B. $ frac{3}{5} $
C. $ frac{5}{4} $
D. $ frac{5}{3} $
解析：利用 $ sin^2 x + cos^2 x = 1 $，代入 $ sin x = frac{3}{5} $，得 $ cos x = pm frac{4}{5} $，取正值为 $ frac{4}{5} $。